logistic曲线拟合就是对双变量实测数据用logistic曲线来拟合，并用拟合的曲线方程来分析两变量之间的关系。logistic曲线由比利时数学家P. F. Verhulst于1844年创用，1923年美国R. Pearl与L. J. Reed用于人口研究，故亦称Pearl-Reed曲线。此曲线呈拉长的“S”形或“乙”字形，其形状及特点是只升不降(正“S”形)或只降不升(反“S”形)。曲线对称于拐点(平移后以拐点为原点)，上下各有一渐近线。多用于发育、繁殖、动态率、剂量反应率以及人口等方面的研究。

logistic曲线方程为

式中a和b是拟合曲线的常数，L是下渐近线的纵坐标，K是上下两条平行的渐近线间的距离，e是自然对数的底。此曲线的拐点在原坐标的

处。X与拐点横坐标的距离即为式(1)中的x。由式(1)移项和取对数，可得式(3)：

式中Y-L是观察点与下渐近线的距离，K-(Y-L)是观察点与上渐近线的距离。若令

则z就是观察点与上下两条渐近线距离之比。

由式(3)与式(4)得式(5)：

lnz=ln a+bx，(5)

表示自变量x与应变量Y的函数lnz呈线性关系，式中ln a是截距，b是斜率。求得K，L，a，b后代入式(1)，即得曲线方程。拟合步骤如下：

(1)将各(X，Y)点画在方格纸上，根据图形特点，选定适当的K值与L值，并按式(4)计算z值，如表1。

(2)将各(X，z)点画在半对数纸上，X在算术尺度上，z在对数尺度上，通过尝试调整K或L的大小，使这些观察点呈直线趋势，如图2散点。

(3)按观察点(X，z)，用目测法作直线，如图2直线。

(4) 由目测直线上读出与z=1的X值，作为X₀，将原点平移至拐点x=X-X₀。

(5) 由目测直线(如图2)上，取相距较远而又便于读数的两点：(X₁，z₁)，(X₂，z₂)。以x值代替X值，并将z值化成对数，得(x₁，lgz₁)，(x₂，lgz₂)。计算该直线的斜率m，并化成自然对数，得b，再计算a。

(6)将K，L，a，b代入式(1)，得曲线方程。

(7)取适当的X值，变换为x值，代入曲线方程求Ŷ值。

(8) 作图。

例 把一批活钉螺同时按同样条件埋于土中，每隔1月取出一部分，检测其存活率，直至12个月，数据见表1。试拟合logistic曲线。

拟合logistic曲线的直线化

(定K与L，计算z)

(1)将(X，Y)点画于方格坐标纸上，得图1。由此图形确定K与L，并计算z。按钉螺存活率最终将降至0%，故选下渐近线L=0;又开始土埋时都是活钉螺，拟合曲线的起点应为(0，100)，则上渐近线必须略高于100，试取K=101，由式(4)得

z值见表1。

(2) 以 (X，z)在半对数纸上作图，见图2，观察点呈直线趋势。

(3)用目测法作直线，见图2。

图1 拟合logistic曲线

(4)确定拐点。由图2目测，对应的X=5.5，以拐点(5.5，50.5)为原点。x=X-5.5，x为曲线方程的自变量。

图2 图1观察点的直线化

(5)求斜率b及截距a。在图2目测直线上选两点： (0，0.01)，(11，100)，按x=X-5.5并将z值化成对数，得(0-5.5，lg0.01)，(11-5.5，lg100);即(-5.5，-2)，(5.5，2)。于是直线的斜率为：

既然以拐点作为原点，且直线通过拐点，则直线的截距lna=0，故a=1。

(6)将K=101，L=0，a=1，b=0.837304，代入式(1)得

(7)取X=1，2，3，…，12;求得相应的x与Ŷ如下：

(8)作图。把各(X，Y)点作图连成曲线，即图1的logistic曲线。此曲线有以下特点： ①与观察点的趋势一致，而且始终是下降的，表示钉螺生存率随土埋时间的延长不断降低; ②从(0，100)点开始，表示钉螺土埋时全部存活; (3)曲线对称于平移后的原点(5.5，50.5);④曲线的终结以生存率接近0%为极限。