医学研究中经常遇到多指标的问题，例如描述牙槽弓形状特征可用22个指标。指标多会增加分析中的麻烦。事实上，不同指标之间往往有一定的相关性，因此有可能用较少的综合因子来代替原来较多的指标，使这些较少的因子既能综合反映原指标的大部分信息，而且相互之间可以是无关的。对于这些互不相关的因子，可以逐个地分析它所代表的意义。因子分析就是用以解决这类问题的。通常将p个指标X₁，X₂，…，X_p (简记为X_i，i=1，2，…，p)，综合而成的m个因子F₁，F₂，…，Fm(简记为Fj，j=1，2，…，m;且m≤p)。例如，按二个指标X₁，X₂测得n对数据，结果如图中散点所示。

二指标因子分析示意

由图可见，这n个点子的分布有一定规律。这些点子的信息分别由X₁、X₂来反映，但X₁、X₂之间又显然有某种程度的相关，即X1增大时，X₂也增大。因此若用因子F₁、F₂来代替X₁、X₂，也就是用新坐标系F₁OF₂来代替

旧坐标系X₁OX₂，则不但可使F₁与F₂互不相关(F₂的大小与F₁的大小无关)，而且，因为这n个点大多沿着F₁轴散开，变异较大，而在F₂轴上则变异较小;故F₁就反映了X₁和X₂中所含的主要信息(比如说75%)。这样，只用F₁一个因子就能反映原来二个指标所含信息的75%，而F₂只反映全部信息中的25%，故称F₁为第一主因子，F₂为第二主因子。

原理 因子分析有二个基本问题：

(1)将指标用因子表达。

式中各F_j与所有的指标有关，称为公共因子，U_i(i=1，2，…，p)表示X_i中各Fj不能反映的部分，称为单一因子，后者只与对应的指标有关。因子分析的运算过程(可用计算机完成)就是按下述原则求各F_j的系数a_ij：①各F_j之间互不相关，②Fj的方差(用以反映指标的综合信息量)中，F₁的方差应最大，F₂的方差次之，依次递减。通常可用主成分分析法来求解。此时所求得的F₁，F₂，…，Fm又常称为第一、第二、…第m主成分。(2) 将公共因子用指标表达。式(2)的系数矩阵为式(1)中Fj的系数矩阵的转置矩阵。任一观察单位的各指标值代入式(2)就能求得各Fj值，它们可称为该观察单位的因子计量或因子得分，是从所有原始指标中，把与某一特定的因子有关的信息集中起来，必要时可利用因子计量作进一步的统计分析。

方法

(1)设有n个观察单位，各调查p个指标X₁，X₂，…，X_p，得数据排列如表1。

表1 p个指标的观察值

(2)将各Xi标准化，即各X_i分别减去其相应均数_I并除以其标准差S_I，记为X_I＝(X_I-_i) /s_i。 并求其两两相关系数，列成相关矩阵。由相关矩阵，用线性代数中的运算方法求得其p个特征根，从中选取m (m≤p)个λ_j (j=1，2，…，m)。并规定λ₁≥λ₂≥…≥λm，从而求得各λ_j的标准化特征向量l_ij。

(3)按式(3)计算式(1)中的a_ij，

(4)计算所取的m个主因子F₁，F₂，…，F_m对某X_i的贡献V_i，

(5)式(1)中单一因子U_i的系数a_i，其平方值a²_i即为U_i的方差，可用下式求得。

a²_i＝1-V_i，(5)

式中a²_i表示m个主因子对指标X_i未能反映部分的信息量。

(6) 为使每一个公共因子只和最少数的指标有相关关系，必要时可进行因子旋转。

几个常用术语的意义：

(1)特征根λ_j体现了某一主因子F_j对所有指标X_i(i=1，2，…，p)总的贡献。因此，为主因子Fj的贡献率，即Fj所反映的是所有指标所含综合信息量的百分率。

(2)λj/p称为从F₁到F_m共m个主因子的累计贡献率，即m个主因子所反映的各Xi中所含综合信息的百分率。

(3) a_ij称为因子负荷量，它体现了某一主因子F_j对某指标X_i的贡献(即F_j反映X_i中所含信息的量)。是m个主因子F₁，F₂，…，F_m对某X_i的贡献。

因子分析分为R型和Q型两类。如上所述，从指标间的相关矩阵出发，提取指标中的主因子，称为R型分析。若从观察单位间的相关矩阵出发，提取观察单位中的主因子则称为Q型分析。在临床上，前者常用于对因子所代表的病因作分析和解释，后者可用于找主因子所代表的典型病例。

例 为了研究牙槽弓的形状特征，某单位调查了609例全口缺牙病人，每个患者各测22个指标Xi，分别反映上下牙槽弓的宽度、深度与长度。试用少数几个综合因子来概括这22个指标所反映的特征(本例仅考虑公共因子)。

(1)将各X_i标准化后，计算其两两间的相关系数，并由相关矩阵求出22个特征根及其累计贡献率见表2。

表2 累计贡献率的计算(节录)

(2)结合专业知识，可见仅取λ₁，λ₂与λ₃三个特征根其累计贡献率已近70%。这就是说仅取三个因子F₁、F₂与F₃就体现了原22个指标中所含信息的70%。由λ₁、λ₂与λ₃可计算得相应的标准化特征向量，见表3。

表3 三个主因子的标准化特征向量l_ij

由表2、表3按式(3)可求得各因子负荷量a_ij，见表4。

表4 因子负荷量及累计贡献率

表4中的a_ij即式(1)的系数矩阵的元素，其转置矩阵的元素即式(2)的各系数b_ji。

由表4及上式可见，F₁的各系数b₁i (i=1，2，…，22)均为正值且大小相近。这表示牙槽弓各指标的尺寸都大(即口型大)时，F₁也大;各指标都小(即口型小)时，F₁也小，故F₁可称为大小因子。F2的各系数b²_i有正也有负： X₆～X₁₀ (都反映下牙槽弓宽度)为正，X₁₁、X₁₂、X₁₃、X₁₅～X₃₁ (几乎全部深度、长度指标)为负。当前者较大，且后者较小时，则F₂值就大，表示下牙槽弓形状较扁平;反之，就较狭长，故F₂为反映下牙槽弓形状的形状因子。F₃的各系数b³_i也有正有负： X₁～X₅(都反映上牙槽弓宽度)为正，X₁₁～X₁₆ (反映上下牙槽弓深度)，X₁₉～X₂₂ (多反映下牙槽弓长度)为负。当F₃较大时，上牙槽弓形状扁平;反之则狭长，故F₃为反映上牙槽弓形状的形状因子。

(3)据各因子负荷量a_ij，由式(4)可求得三个主因子对各X_i的累计贡献率V_i见表4最后一栏。由累计贡献率可见，取三个主因子时，对各指标的贡献已相当大，其中以对X₃、X4、X5、X₇、X、X₁₃、X₁₇、 X₁₈、 X₂₂的贡献较大，累计贡献率达75%以上，对其余的X_i (除X₁₁外)的贡献率也都在50%以上。