正交多项式是将多项式回归方程

Y=a₀+a₁X+a₂X²+…+a_kX^k (1)

中的X，X₂，…，Xk进行适当变换，相应地变成ψ1(X)，ψ2(X)，…，ψk(X)，于是上述回归方程变为

Ŷ=b₀ψ0(X)+b₁ψ₁(X)+…+b_kψ_k(X)， (2)

式中每个ψi(X)是X的i次多项式，亦即ψ1(X)，ψ2(X)，…，ψk(X)分别是X的一次、二次及k次多项式。设X是等间隔取值，则可使X₁＝1，X₂＝2，…，X_t＝t，…X_n＝n。如果X_i＝a+h，X₂＝a+2h，…，X_n＝a+nh，则作变换x=X-a/h就可得x₁＝1，x₂＝2，…，x_n＝n;k

为多项式的最高方次，n为样本含量。为简化运算，选择ψi(X)，使

这两条性质称为正交性，可以验证下面一组多项式满足上述正交性。故这组多项式称为正交多项式。

由于Ψ_i(X)(i=1，2，…，k)的值不一定都为整数，为了计算方便，引进适当的系数λi，使

φi=φi(x)=λiΨi(X) ，(5)在n个等间隔点上的值都为整数。对给定的n，相应的λ_i及φ_i在第1，2，…，n各点的数值与s_i＝∑φ²_i都已制成了正交多项式表供实际计算之用，如表1是摘录n为5 ～8的正交多项式表，详表见有关统计表。

表1 正交多项式表(n为5～8 )

摘自 山内二郎：统计数值表，404，JSA-1972

在多项式回归分析或多项式曲线拟合中，当自变量按等间隔取值时，可利用预制的正交多项式表求各回归系数，使运算过程大大简化，并使不同方次的回归方程的假设检验可以同时进行。

多项式回归分析的方法步骤如下：

(1)根据样本含量n，采用相应的正交多项式表;并按数据描绘的散点图或以往的经验初步确定多项式的方次k (一般k≤5即可，故表中只列出高达5次的正交多项式);从而列出计算表(如表3)。首先计算

则回归方程为

(2)对正交多项式回归进行拟合优度的逐步比较(参见“曲线拟合优度的比较”)。可按表2作方差分析。

表2 正交多项式回归的方差分析

注意：每次多项式φ_i(X)的系数b_i及相应的B_i＝φi(X_i)y_i只与Yt及φ_i(X_t)有关，而不随其他各次多项式的增减而变化。在整个回归分析中，多配一项φi(X)就使回归平方和SS回增加一项biBi。因此可把

b_iB_i＝B_i2/s_i

看作是第i次多项式φ_i(X)的效应，而回归平方和则是各次效应之和。因此检验所配各次多项式Φ_i(X)对Y有无贡献，可用各次效应b_iBi与剩余均方进行F检验，Fi的自由度为1，n-k-1。对于那些没有贡献的高次项可从回归方程中删去。s²之比：

例 不同室温下测定家兔的血糖值，结果如下，试用正交多项式拟合适当的曲线。