协方差分析是把线性回归与方差分析结合起来，检验两个或多个修正均数间有无差别的方法。例如在营养研究中，不考虑动物食量的差别，直接用方差分析来比较不同饲料组动物所增体重的均数，以评价不同饲料的营养价值是不够恰当的。因为动物体重的增加，除与食物的营养价值有关外，还与各组动物的食量有关。而动物食量的多少又往往未加控制。若用直线回归的方法找出食量与所增体重的关系，求得当食量化为相等时(即扣除食量的影响)，各饲料组动物所增体重的修正均数，然后再用方差分析检验各修正均数间有无差别，这才比较合理。又如比较各种职业人群的血压时，应把年龄化为相等，再作比较。这类问题，根据实验设计的不同，有完全随机设计、配伍组设计、拉丁方设计和析因设计等资料的协方差分析，其基本思想相同。本条目仅介绍前面两种，并以二元线性回归为例说明多元协方差分析。

应用协方差分析的条件是：①理论上要求各组资料(样本)都来自方差相同的正态总体;②各组的总体直线回归系数βi相等，且都不为0。因此，资料用协方差分析前须先进行方差齐性检验和回归系数的假设检验，若符合上述两个条件，或经变量变换后符合上述条件，方可进行协方差分析，否则不宜用此法。

完全随机(或配伍组)设计资料的协方差分析 方法步骤如下：

(1) 计算各变量值之和∑X、∑Y，平方和∑X₂、∑Y₂，及积和∑XY，如表1或表3下半部。

(2) 计算总变异的离均差平方和、积和及自由度，按式(1)～(3)。

式中∑X、∑Y、∑XY是各组X、Y、XY的总和，N为总例数，v为自由度。lXY/v称为协方差，它是两变量联合变异的度量。

(3) 计算各处理组(或配伍组)间的离均差平方和、积和及自由度，按式(4)～(6)。

式中∑X_i或∑Y_i为第i组变量值X或Y的和，ni为第i组的例数，k为组数，其他符号意义同前。

(4) 将上述第(2)、(3)步的计算结果列入协方差分析表，如表2或表4左侧部分。由总变异的离均差平方和、积和及自由度减处理组(或配伍组)间相应各数，得组内(或误差)的离均差平方和、积和及自由度。

(5) 求回归的剩余平方和∑(Y-Ŷ)²及自由度v。 列入协方差分析表，如表2或表4右侧部分。表2“剩余”部分：平方和栏中，总的及组内(或误差)的数字分别按式(7)计算，

总的减组内的即为修正均数间的剩余平方和。自由度栏中，总的及组内数字分别为左侧相应部分的自由度减1，如总的v=39-1=38，组内的v=38-1=37，总的减组内的即为修正均数间的自由度v=38-37=1。

在配伍组设计中，总变异扣除了配伍组间的变异即处理组间的变异与误差的变异，因此，“组间+误差”的剩余与完全随机设计中的总剩余相当，如表4剩余部分的“饲料+误差”行与表2剩余部分的总变异行相当。

(6)分别求修正均数间及组内的剩余均方MS (即剩余平方和除以自由度之商)。再按式(8)求F值。

(7)用式(8)中分子、分母两均方的自由度查F界值表得P值，按所取检验水准作出推断结论。若修正均数间有差别，必要时再作两两比较。

(8)求各修正均数。先按式(9)计算公共回归系数bc，再按式(10)计算各修正均数'i。

式中I、 _I分别为第I组变量X、 Y的均数，为总均数。

(9)修正均数间的两两比较。见条目“多个样本均数间两两比较”，用q检验，唯统计量q值的计算按式(11)，

式中'A、'B为任两修正均数， 分母为其差的标准误，sY2·X为组内剩余方差，n0为每组平均例数，α为对比的两均数间包含的组数，意义详见条目“多个样本均数间两两比较”。求得q值后，按“剩余”中组内自由度及α查q界值表得P值，按所取检验水准作出推断结论。

例1 表1中男性运动员和大学生的平均肺活量分别为4399cm³及3667.5cm3，经假设检验有差别。但肺活量的大小与身高有关，一般运动员的身高高于大学生。为进一步分析肺活量的差异是否由于体育锻炼所致，试进行协方差分析。

表1 某地20岁男性运动员及大学生的身高(cm) X与肺活量(cm⁸) Y

H₀：两总体肺活量的修正均数相等，H₁：两总体肺活量的修正均数不等。

a=0.05。

初步计算结果见表1下半部。按式(1)～(6)得：

表2 表1资料的协方差分析