四格表(2×2表)x²检验，也是检验两因素(各有两个水平) 的交互作用。如分析男女之间慢性胃病患病率有无差别，男女的患病率不同，即性别与患病之间有交互作用;反之，无交互作用，即彼此独立。以上是一级交互作用，若进一步分析甲县与乙县男女的患病率有无差别，即二级交互作用，可作两个四格表(2×2×2表) 的x2检验。这类问题的特点是共有三个因素，每一因素分为两个水平，如地区分为甲县与乙县，性别分为男与女，患病分为非患者与患者，全部资料组成如下两个四格表，以分析三因素的二级交互作用，即两个四格表的交互作用。

四格表中a、b、c、d及a′、b′、c′、d′ 为样本的实际频数。

2×2×2表x²检验的方法步骤是：

(1) 建立检验假设H₀： 由上列四格表可见，若甲县性别与患病无交互作用，则男、女的非患者数与患者数的比例相等，即a/b=c/d，或ad/bc=1;同理乙县为a′d′/b′c′=1;显然，两四格表无交互作用，则ad/bc = a′d′/b′c′。由于样本有抽样误差，故须作假设检验。分析总体的交互作用与样本类似，但须用概率表示。设N个观察对象分别落入两个四格表中每个格子的概率为Pa，Pb，Pc，Pd及Pa′，Pb′，Pc′，Pd′，则：H₀： PaP_d/PbPc=Pa′P_d′/P_b′Pc′，总体中无交互作用。H₁： PaP_d/PbPc≠Pa′P_d′/P_b′Pc′，总体中有交互作用。(2) 计算统计量x²值： 计算x²值时，一般须按H0求出理论频数。设四格表中每个格子的实际频数为A，理论频数为T，差值为X，即A-T=X，则各格的|X|相等。两个四格表有一公用的|X|。因此，当求得|X|后，各格理论频数可用倒推法求得如下：

理论上可以推证Pa=Ta/n，Pb =Tb/n，…。因而根据H0可得式(1)

(a-X)(d-X)/(b+X)(c+X)=(a′+X) (d′+X) /(b′-X)(c′-X)，或 (a-X)(d-X)(b′-X)(c′-X)

＝(a′+X)(d′+X)(b+X)(c+X)。(1)对式(1)用可编程序的电子计算器求解，或用迭代法求X的近似值，代入式(2)即可求得连续性校正的x²值。

(3) 查x²界值表，得P值，按所取检验水准作出推断结论。

例 现调查得甲、乙两县的慢性胃病患病资料如下，问甲县与乙县男、女慢性胃病患病率有无差别?

H₀： PaPd/PbPc=Pa′Pd′/Pb′Pc′，H₁： PaPd/PbPc≠ Pa′ Pd′/Pb′Pc′。

a=0.05。

按式(1)得

(1666-X)(475-X)(523-X)(1130-X)=(998+X)(272+X)(405+X)(1933+X)，7402X3-897832X2+ 4202313818X-2.5517×1011 =0。①用迭代法。先令4202313818X-2.5517×10¹¹＝0，求得X的初始估计值，X=60.72，依次取附近大小不同的估计值，试代入式①，直到前后两次回代得值接近于零，并发生正负号变化时，此估计值即为所求者。

故X值应在61.1至61.2之间，设X=61.15，代入式(2)得，

查x²界值表，P<0.005，按α=0.05水准拒绝H0，接受H1，说明两四格表间存在交互作用，即地区不同，性别不同，慢性胃病患病率也不同。患病率男女间的差别，表现在乙县男性高于女性(x²＝82.73，P<0.005);甲乙两县间的差别表现在男性方面乙县高于甲县(x2=100.65，P<0.005)。