多个样本均数作比较时，经方差分析，若认为各总体均数间有差别，常需进一步确定哪两个总体均数间有差别，哪两个间没有差别。为此，可利用方差分析提供的信息作样本均数间的两两比较，又称多重比较。如A、B、C三个样本均数的两两比较有A与B、B与C、A与C三种情况;A、B、C、D四个样本均数的两两比较有六种情况;k个样本均数比较有(k2)=k(k-1)/2种情况。进行两两比较有多种方法，本条目介绍Newman-Keuls检验、Duncan检验、Tukey检验、最小显著差检验及Scheffe检验。它们的理论依据、应用条件有所不同，其中前二种较为多用。
Newman-Keuls检验 (D.Newman，1939; M.Ke-uls，1952) 亦称Student-Newman-Kenls (SNK)检验。计算统计量q值的公式为
式中A-B为两两比较中的任何两个对比组均数之差值;
为差值的标准误;MS组内为方差分析的组内均方; n为各样本的例数或平均例数。本法步骤如下：
(1)将k组的均数从大到小排列：
，然后按其顺序列出对比组，如表6第(1)栏为对比组的代号，即从最大均数开始，顺次与其他各组对比;然后以次大均数与各组对比，依此类推。
(2) 计算对比组的两均数之差，如表6第(2)栏。
(3) 写出均数按大小排列时，两对比组范围内包含的组数α。 如
与
对比，α=2;
与
对比，α=3;
与
对比，α=k，如表6第(3)栏。
(4)将方差分析表中MS组内代入式(2)得sA-B，将其与两均数之差代入式(1)得q值。如表6第(4)栏。
(5) 按MS组内的自由度v和组数α查表1q界值表得P值，按所取检验水准作出推断结论。
若各组例数不等，只须将式(2)改为式(3)即可，其余步骤不变。
式中nA与nB分别为第A组与第B组的例数。
Duncan检验(D.B.Duncan，1955) 亦称Duncan新法，以区别于Duncan于1951年提出的方法。本法除用表2q界值表代替表1外，其余同Newman-Keuls检验，包括各组例数不同的处理。表2与表1不同的是当α≥3时表2的q界值皆小于表1的相应界值。
Tukey检验(J.W.Tukey，1953) 本法要求各组例数相等。它与Newman-Keuls检验不同的只是不论α值大小，一律用组数α=k(即比较的全部组数)查表1q界值表。因此对同一资料，Tukey检验的界值即New-man-Keuls检验的最大界值。
最小显著差(LSD)检验 本法要求各组例数相等。它与Newman-Keuls检验不同的只是不论α值大小，一律用组数α=2查表1q界值表。因此对同一资料本法界值即Newman-Keuls检验的最小界值。
表1 Newman-Keuls检验用q界值表
上行：P=0.05，下行：P=0.01
v | 组 数，a | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | ||||||||
5 | 3.64 | 4.60 | 5.22 | 5.67 | 6.03 | 6.33 | 6.58 | 6.80 | 6.99 | |||||||||
6 | 3.46 | 4.34 | 4.90 | 5.30 | 5.63 | 5.90 | 6.12 | 6.32 | 6.49 | |||||||||
7 | 3.34 | 4.16 | 4.68 | 5.06 | 5.36 | 5.61 | 5.82 | 6.00 | 6.16 | |||||||||
8 | 3.26 | 4.04 | 4.53 | 4.89 | 5.17 | 5.40 | 5.60 | 5.77 | 5.92 | |||||||||
9 | 3.20 | 3.95 | 4.41 | 4.76 | 5.02 | 5.24 | 5.43 | 5.59 | 5.74 | |||||||||
10 | 3.15 | 3.88 | 4.33 | 4.65 | 4.91 | 5.12 | 5.30 | 5.46 | 5.60 | |||||||||
12 | 3.08 | 3.77 | 4.20 | 4.51 | 4.75 | 4.95 | 5.12 | 5.27 | 5.39 | |||||||||
14 | 3.03 | 3.70 | 4.11 | 4.41 | 4.64 | 4.83 | 4.99 | 5.13 | 5.25 | |||||||||
16 | 3.00 | 3.65 | 4.05 | 4.33 | 4.56 | 4.74 | 4.90 | 5.03 | 5.15 | |||||||||
18 | 2.97 | 3.61 | 4.00 | 4.28 | 4.49 | 4.67 | 4.82 | 4.96 | 5.07 | |||||||||
20 | 2.95 | 3.58 | 3.96 | 4.23 | 4.45 | 4.62 | 4.77 | 4.90 | 5.01 | |||||||||
30 | 2.89 | 3.49 | 3.85 | 4.10 | 4.30 | 4.46 | 4.60 | 4.72 | 4.82 | |||||||||
40 | 2.86 | 3.44 | 3.79 | 4.04 | 4.23 | 4.39 | 4.52 | 4.63 | 4.73 | |||||||||
60 | 2.83 | 3.40 | 3.74 | 3.98 | 4.16 | 4.31 | 4.44 | 4.55 | 4.65 | |||||||||
120 | 2.80 | 3.36 | 3.68 | 3.92 | 4.10 | 4.24 | 4.36 | 4.47 | 4.56 | |||||||||
∞ | 2.77 | 3.31 | 3.63 | 3.86 | 4.03 | 4.17 | 4.29 | 4.39 | 4.47 | |||||||||
摘自 Beyer WH：Handbook of Tables for Probabi lity and Statistics，second edition，p362，p364，CRC Press，Inc.，1979
表2 Duncan检验用q界值表
上行： P=0.05，下行： P=0.01
v | 组 数，a | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | ||||||||
5 | 3.64 | 3.74 | 3.79 | 3.83 | 3.83 | 3.83 | 3.83 | 3.83 | 3.83 | |||||||||
6 | 3.46 | 3.58 | 3.64 | 3.68 | 3.68 | 3.68 | 3.68 | 3.68 | 3.68 | |||||||||
7 | 3.35 | 3.47 | 3.54 | 3.58 | 3.60 | 3.61 | 3.61 | 3.61 | 3.61 | |||||||||
8 | 3.26 | 3.39 | 3.47 | 3.52 | 3.55 | 3.56 | 3.56 | 3.56 | 3.56 | |||||||||
9 | 3.20 | 3.34 | 3.41 | 3.47 | 3.50 | 3.52 | 3.52 | 3.52 | 3.52 | |||||||||
10 | 3.15 | 3.30 | 3.37 | 3.43 | 3.46 | 3.47 | 3.47 | 3.47 | 3.47 | |||||||||
12 | 3.08 | 3.23 | 3.33 | 3.36 | 3.40 | 3.42 | 3.44 | 3.44 | 3.46 | |||||||||
14 | 3.03 | 3.18 | 3.27 | 3.33 | 3.37 | 3.39 | 3.41 | 3.42 | 3.44 | |||||||||
16 | 3.00 | 3.15 | 3.23 | 3.30 | 3.34 | 3.37 | 3.39 | 3.41 | 3.43 | |||||||||
18 | 2.97 | 3.12 | 3.21 | 3.27 | 3.32 | 3.35 | 3.37 | 3.39 | 3.41 | |||||||||
20 | 2.95 | 3.10 | 3.18 | 3.25 | 3.30 | 3.34 | 3.36 | 3.38 | 3.40 | |||||||||
30 | 2.89 | 3.04 | 3.12 | 3.20 | 3.25 | 3.29 | 3.32 | 3.35 | 3.37 | |||||||||
40 | 2.86 | 3.01 | 3.10 | 3.17 | 3.22 | 3.27 | 3.30 | 3.33 | 3.35 | |||||||||
60 | 2.83 | 2.98 | 3.08 | 3.14 | 3.20 | 3.24 | 3.28 | 3.31 | 3.33 | |||||||||
100 | 2.80 | 2.95 | 3.05 | 3.12 | 3.18 | 3.22 | 3.26 | 3.29 | 3.32 | |||||||||
∞ | 2.77 | 2.92 | 3.02 | 3.09 | 3.15 | 3.19 | 3.23 | 3.26 | 3.29 | |||||||||
摘自 Duncan DB： Multiple range and multiple F tests，Biometrics，11： 1，1955
Scheffe检验(H. Schffe，1959) 用式(4)、式(5)计算统计量S值。
注意：式(4)与式(1)相似，但式(5)与式(3)不同。经F检验多个样本均数间有差别，则用Scheffe检验一定可找到有差别的对比组。求得S值后，查表3 S界值表得P值，按所取检验水准作出推断结论。表3中的v亦为MS组内的自由度，k为处理组的个数。由此可见，此表与a无关。
表3 Scheffé检验用S界值表
上行： P=0.05，下行 P=0.01
v | k-1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | ||||||||
5 | 3.40 | 4.03 | 4.56 | 5.03 | 5.45 | 5.84 | 6.21 | 6.55 | 6.88 | |||||||||
6 | 3.21 | 3.78 | 4.26 | 4.68 | 5.07 | 5.43 | 5.76 | 6.07 | 6.37 | |||||||||
7 | 3.08 | 3.61 | 4.06 | 4.46 | 4.82 | 5.15 | 5.46 | 5.75 | 6.03 | |||||||||
8 | 2.99 | 3.49 | 3.92 | 4.29 | 4.64 | 4.95 | 5.24 | 5.52 | 5.79 | |||||||||
9 | 2.92 | 3.40 | 3.81 | 4.17 | 4.50 | 4.80 | 5.08 | 5.35 | 5.60 | |||||||||
10 | 2.86 | 3.34 | 3.73 | 4.08 | 4.39 | 4.68 | 4.96 | 5.21 | 5.46 | |||||||||
12 | 2.79 | 3.24 | 3.61 | 3.94 | 4.24 | 4.52 | 4.77 | 5.02 | 5.25 | |||||||||
14 | 2.73 | 3.17 | 3.53 | 3.85 | 4.13 | 4.40 | 4.65 | 4.88 | 5.10 | |||||||||
16 | 2.70 | 3.12 | 3.47 | 3.78 | 4.06 | 4.31 | 4.55 | 4.78 | 4.99 | |||||||||
18 | 2.67 | 3.08 | 3.42 | 3.72 | 4.00 | 4.25 | 4.48 | 4.70 | 4.91 | |||||||||
20 | 2.64 | 3.05 | 3.39 | 3.68 | 3.95 | 4.20 | 4.42 | 4.64 | 4.85 | |||||||||
30 | 2.58 | 2.96 | 3.28 | 3.56 | 3.81 | 4.04 | 4.26 | 4.46 | 4.65 | |||||||||
40 | 2.54 | 2.92 | 3.23 | 3.50 | 3.74 | 3.97 | 4.18 | 4.37 | 4.56 | |||||||||
60 | 2.51 | 2.88 | 3.18 | 3.44 | 3.68 | 3.89 | 4.10 | 4.28 | 4.46 | |||||||||
120 | 2.48 | 2.84 | 3.13 | 3.38 | 3.61 | 3.82 | 4.02 | 4.20 | 4.37 | |||||||||
∞ | 2.45 | 2.80 | 3.08 | 3.33 | 3.55 | 3.75 | 3.94 | 4.11 | 4.28 | |||||||||
摘自 山内二郎：統計数值表，66，JSA-1972。
例1 用四种饲料喂大白鼠，测得其肝重占体重的百分比值见表4，经方差分析见表5，得P<0.01，故认为不同饲料组的肝重比值有差别。为获得进一步的结论，试进行两两比较。
表4 四种饲料喂大白鼠后的肝重比值(%)
| I号 | II号 | III号 | IV号 |
X | 2.62 | 2.82 | 2.91 | 3.92 |
| 2.40 | 2.69 | 3.10 | 3.32 |
表5 表3资料的方差分析
变异来源 | SS | v | MS | F |
总 | 2.807375 | 15 |
|
|
组 间 | 2.027525 | 3 | 0.6758 | 10.40 |
H0： μA=μB，即各总体均数两两相等;
H1： μA≠μB，即各总体均数不等或不全相等。
α=0.05。
(1) Newman-Keuls检验。
四组均数按大小顺序排列
IV号 | III号 | II号 | I号 |
3.32 | 3.10 | 2.69 | 2.40 |
各对比组、两均数之差、组数α见表6第(1)～(3)栏。按式(2)得
按式(1)得各对比组q值，见表6第(4)栏。
以v=12及α查表1得各P值，见表6第(5)栏。
表6 四种饲料组肝重比值均数间的两两比较
*表示P<0.05，**表示P<0.01，无*表示P>0.05。
(2) Duncan检验。得表6第(1)～(4)栏后，以v=12及α查表2得各P值，见表6第(6)栏。
(3) Tukey检验。得表6第(1)、(2)、(4)栏后，以v=12，α=4查表1得各P值，见表6第(7)栏。
(4)最小显著差检验。得表6第(1)、(2)、(4)栏后，以v=12，α=2查表1得各P值，见表6第(8)栏。
由表6第(5)～(8)栏可见：按α=0.05水准，四种方法检验结论基本一致：除Ⅰ、Ⅱ号饲料间及Ⅲ、Ⅳ号饲料间肝重比值无差别(均不拒绝H0)外，其余的任何两种饲料间肝重比值均有差别(Ⅲ与Ⅱ比较除Tukey检验为P>0.05外，其他三法都是P<0.05，均拒绝H0，接受H1)，可以认为喂Ⅲ、Ⅳ号饲料大白鼠的肝重比值较喂Ⅰ、Ⅱ号的为高。
例2 三种药分别用于小白鼠后，平均延迟咳嗽时间见表7，经方差分析(表8)，得P<0.05，可认为三种药的延迟咳嗽时间不同。为获得进一步的结论，试进行两两比较。
表7 三种药使小白鼠平均延迟咳嗽时间
药 物 | 例 数 | 平均延迟时间(秒) |
复方一(I) | 15 | 31.67 |
表8 方差分析
变异来源 | SS | v | MS | F |
总 | 31810.00 | 39 |
|
|
组 间 | 4994.17 | 2 | 2497.08 | 3.45 |
H0：μ A=μB，
H1： μA≠μB。
α=0.05。
(1) Newman-Keuls检验。按式(3)得
得表9第(1)～(4)栏后，以v=37及α查表1得各P值，P<0.05者在q值右上角记“*”，P>0.05者无“*”。
(2) Duncan检验。得表9第(1)～(4)栏后，以v=37及α查表2得各P值，结果同Newman-Keuls检验。
(3) Scheffe检验。按式(5)
得表9第(1)、(2)栏及第(5)栏[按式(4)]后，以v=37，k=3查表3得各P值，P<0.05者在S值右上角记“*”，P>0.05者无“*”。
表9 三种药平均延迟咳嗽时间的两两比较
上述三种方法检验结果按a = 0.05水准结论相同，即可以认为三种药中可待因延迟小白鼠咳嗽的时间比复方一长，其余没有差别。
多组均数间的两两比较时应注意：
(1) 如果都用t检验来推断，则将明显增大Ⅰ型错误a。例如作t检验时的a=0.05，共需作6个比较，则6次t检验的实际水准变为1-(1-0.05)
＝0.265， 比0.05大多了。
(2) Newman-Keuls检验和Duncan检验由于采用多重界值，故检验的准确性较高。四种方法的敏感度不同： 最小显著差检验最大 (由于一律用a=2时的界值，界点最低)，Duncan检验次之，Newman-Keuls检验又次之 (此法除a=2外，界值均较Duncan检验为高)，Tukey检验最低 (由于一律用a=k时的界值，界点最高)。
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