概率是描述事件发生可能性大小的一个度量。事件的概率有不同的规定。概率的古典定义是： 设一个试验的所有可能出现的结果有n个，这些结果是互不相容且等可能的，其中有f个结果具有属性A，则具有属性A的事件(简称事件A，下同)出现的概率记作

概率的统计意义是： 设在相同条件下，独立地重复做n次试验，事件A出现f次，则称f/n为事件A出现的频率。当n逐渐增大时，频率f/n始终在某一常数p的左右作微小的摆动，就称p为事件A的概率，记作

P(A)=p。(2)

在许多实际问题中，当概率不易求得时，只要n充分大，可以将频率作为概率的估计值。

在一定条件下，肯定发生的事件称为必然事件，肯定不发生的事件称为不可能事件。可能发生也可能不发生的事件，如未出生的婴儿是女的、某人的血型(未查血型前)是O型等事件，称为随机事件，亦称偶然事件，简称事件。必然事件的概率等于1，不可能事件的概率等于0，随机事件的概率介于0与1之间。

“事件A和B中至少有一个发生”也是一个事件，称此事件为A、B之和或并，记作A+B。“事件A和B同时发生”这一事件称为A、B之积或交，记作AB。例如对某地农民粪检结果，有蛔虫阳性者，钩虫阳性者，钩虫、蛔虫均为阳性者，则“钩虫和蛔虫中至少有一阳性”这一事件称为钩虫阳性与蛔虫阳性这两事件之和;钩虫、蛔虫均为阳性称为这两事件之积。

如果两事件A、B不可能同时发生，就说A、B互不相容。如某人的“血型为O型”或“血型为A型”是互不相容的两事件。如果互不相容的诸事件的概率之和等于1，就说它们构成完备系，例如诸血型构成完备系。当完备系中只有两个互不相容的事件时，就说它们是相互对立的事件，如“血型为O型”与“非O型”是相互对立的事件。事件A的对立事件记作A。两事件A与B的关系可示如图。

概率运算法则

(1) 加法法则： 对于任意两事件A和B中，至少有一个发生的概率为

A.B互不相容

A、B两事件关系示意

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)。(3)若A、B互不相容，则

P(A+B)=P(A)+P(B)。(4)

式(4)可推广到有限个互不相容的事件。相互对立事件的概率之和等于1，即

P(A)+P(Ā)=1。 (5)

(2)乘法法则： 在“事件A已发生”的条件下，事件B发生的概率称为B的条件概率，记作P(B|A)。对于任意两事件A和B同时发生的概率为

P(AB)=P(A)P(B|A)，

或 P(AB)=P(B)P(A|B)。(6)

若A(或B)发生与否并不影响B(或A)的概率，就说A与B相互独立，这时P(B|A)=P(B)或P(A|B)=P(A)。若事件A与B相互独立，则事件AB的概率等于A的概率与B的概率之积，即

P(AB)=P(A)·P(B)。(7)

这一法则可推广到有限个相互独立的事件。

例1 某单位检查全体人员1500人的寄生虫病，结果： 80人有蛔虫病，30人有钩虫病，15人兼有蛔虫病和钩虫病。设“患蛔虫病”为事件A，“患钩虫病”为B，求P(A+B)及P(AB)。以频率作为概率，按式(3)

例2 已知某地区人群血型分布的频率： O型为36%，A型为28%，B型为28%，AB型为8%，求该地区某人不是O型的概率。

诸血型构成完备系，故

P(A型)+P(B型)+P(AB型)+P(O型)=28%+28%+8%+36%=1。

因此，按式(4)得

本例的另一解法是，按式(5)得

例3 设有一群同种属、同月龄、同性别的大白鼠注射某种药物，经一定时间后，其死亡率为0.60。今从中随机抽取4只注射该药物，求此4只中有3只死亡的概率。

假定任一鼠注射后死亡与否对他鼠并无影响，即各鼠的“死亡”事件是相互独立的。设四鼠分别以A、B、C、D表示，则三死一生有下列四种情况：

每一种情况发生的概率，按式(7)均为

(0.6)³(1-0.6)=(0.6)³(0.4)=0.0864，

而这四种情况是互不相容的，故应将四个0.0864相加，于是按式(4)得

P(三死一生)=4(0.6)³(0.4)=0.3456。

Bayes公式 设H₁，H₂，…，Hn为n个不相容的事件，并且构成完备系，P(H_i)>0(i=1，2，…，n);则在事件A出现的条件下，事件Hi出现的概率，即Hi的条件概率为

此式称为Bayes公式。Bayes公式可用于在已知某症状的条件下计算患某病的概率，有助于临床判别诊断，如例4。若症状指标不止一个，则可应用多指标的Bayes公式。

例4 某地区根据多年的某种病史分析，将病例分为甲状腺机能低下(H₁)、正常(H₂)与亢进 (H₃) 三类，并得： P(H₁)=0.15，P(H₂)=0.65，P(H₃)=0.20。若仅按“食欲亢进”指标(A)而言，根据积累的资料得： P(A|H₁)=0.08，P(A|H₂)=0.10，P(A|H₃)=0.61。今有某病员新近食量大增，试分别求其甲状腺机能低下，正常与亢进的概率。

按式(8)得

故仅按“食欲亢进”一项指标而言，该病员患甲状腺机能亢进的可能性最大，约2倍于正常，10倍于低下。