多项式曲线拟合就是对双变量实测数据用多项式曲线来拟合，并用拟合的曲线方程来分析两变量之间的关系。多项式的一般形式为

Y=a+b₁X+b₂X²+b₃X³+…+b_mX^m。(1)

等式右侧只有第一、二项时，为直线方程，加上b₂X²项为二次曲线方程，再加上b₃X³项为三次曲线方程，余类推。

图1是常见的几种多项式曲线。(A)和(B)是二次多项式曲线，亦称二次抛物线。当b₂>0时有一极小点，b₂<0时有一极大点。拟合所取的一段中也可能不包括极小点或极大点。(C)和(D)是三次多项式曲线，亦称三次抛物线。当b2>0时，依次有

图1 几种常用的多项式曲线

一极大点和一极小点; b₃<0时，依次有一极小点和一极大点; 拟合所取的一段并非一定包括曲线的全部特征。(C′)和(D′)是三次多项式曲线的消退型，无极大点和极小点，只有一个拐点。

随着多项式中X^m幂的升高，曲线形状亦越趋复杂。必要时，可采用逐步多项式回归，逐次增加其幂，至拟合最优时为止。但要注意，当按原始数据所作的观察点较少时，拟合多项式的幂也不能太高，否则由于自由度太小而无实际意义。

当X为等差数列时，可按条目“正交多项式”所介绍的方法来拟合多项式曲线较为简便。若将多项式作下列变换： 令x₁＝X，x₂＝X₂，x₃＝X₃，…，则可借助于多元线性回归的方法来求多项式曲线方程。

多项式中的a值及各b值由下列方程组解得。

二次抛物线过极小点(或极大点)有一对称轴，曲线两侧对称。令二次多项式的一阶导数为0 ，可求得极小点(或极大点)的X值：

b₁+2b₂X=0，

X=-b₁/2b₂。(3)

例 大白鼠在不同缺氧程度(mmHg)X条件下，受相同剂量放射线照射后骨髓内的坏死灶(个/50个视野) Y亦不同，数据如下：

散点图见图3，按其趋势试拟合二次多项式曲线。

(1)变量变换，使资料对称化。此例观察点趋势显然不对称。经尝试，在半对数纸上，置(X-200)于对数尺度，Y于算术尺度，可达较好的对称性，见图2。

图2 在半对数纸上观察点的对称化

(2)求方程。为简便起见，以与Y为变量。

n=6，

∑x=2.827369，∑x2=1.729084，∑x³＝1.114438，∑x⁴＝0.743472，

解之得a=213.9535，b1=-693. 5860，b2= 925. 6938。

得方程 Ŷ=213.9535-693.5860x+925.6938x2。

(3)求Ŷ。取适当的X值，代入式算得相应的变换值x，再以x值代入所得方程，即可算出与各X值对应的Ŷ值如下：

(4)作图。将各(X，Ŷ)点连成曲线，即得图3的曲线。观察点与曲线逼近，表示拟合优度良好。

图3 观察点及拟合的二次多项式曲线

(5)求极小点。令所得二次方程之一阶导数等于0，解得X值：

-693.5860+2(925.6938)x=0，

x=0.374630，

X=436.9。

代入方程得Ŷ=84.0此即曲线极小点，表示当X=436.9mmHg压力时，骨髓坏死灶最少，平均84.0个/50个视野。

必要时，可检验拟合优度。