配伍组(即随机区组)设计的实验数据，如不能满足方差分析的正态性和方差齐的要求，则可用Friedman秩和检验来推断各处理组(总体) 间的差别。检验假设H0为各处理组的总体分布相同; 备择假设H1为各处理组的总体位置不同或不全相同 (即各总体的变量值有倾向性不同)。必要时还可进一步作两两比较或各实验组与对照组比较。
Friedman秩和检验(M. Friedman，1937) 方法步骤如下：
(1)先在每一配伍组内将数据从小到大编秩，如有相同数据，取平均秩次;再按处理组将各秩次分别相加，得各组秩和Ri，i=1，2，…，k。
(2)按式(1)计算统计量x2r值，
式中k为处理组数;n为配伍组数;I=RI/N为第I处理组的秩次均数; 为秩次总均数;
相当于组间离均差平方和;(k2-1)/12为秩次的方差。
当同一配伍组内出现相等数据(即有相同秩次)时，所得x2r值略低，可按式(2)计算校正的x2rC值，
式中ti为第i个相同秩次组中的相同秩次的个数;其他符号同式(1)。
(3) 求得x2r(或x2rC2)值后，查表1得P值，按所取检验水准作出推断结论。注意： 当x2r(或x2rC)值恰等于表中界值时，其确切概率多小于表中的P值。当k或n超出表1范围时，x2r(或x2rC)分布近似于自由度v=k-1的x2分布，可直接查x2界值表得P值。
表1 秩和检验用x2r界值表
n | k=3 | k=4 | P： 0.05 | 0.01 | 0.05 | 0.01 | ||
2 |
|
| 6.00 |
| ||||
3 | 6.00 |
| 7.40 | 9.00 | ||||
4 | 6.50 | 8.00 | 7.80 | 9.60 | ||||
6 | 7.00 | 9.00 | 7.60 | 10.20 | ||||
11 | 6.55 | 9.46 |
|
| ||||
摘自 Owen DB： Handbook of Statistical Tables，p408，Addison-Wesley Publishing Company，Inc.，1962
例1 用某新药治疗血吸虫病患者，采用三天疗法，在治疗前及治疗后测定7名患者的血清谷丙转氨酶(SGPT)的变化，以观察该药对肝功能的影响，测定结果见表2。问四个阶段的SGPT有无差别?
表2 某新药治疗血吸虫病患者治疗前后SGPT(单位)的变化
患者号 | 治疗前 | 治 疗 后 | 1周 | 2周 | 4周 | ||
1 | 63(2) | 188(4) | 138(3) | 54(1) | |||
Ri | 9 | 27 | 21 | 13 | |||
H0： 治疗前后四个阶段患者的SGPT的总体分布相同，
H1： 四个总体的位置不同或不全相同。
a=0.05。
对每一患者治疗前后SGPT的观察值从小到大编秩，列于其后的括弧内，计算各阶段的秩和Ri。本例n=7，k=4，按式(1)计算x2r
查表1得P<0.01，按a=0.05水准拒绝H0，接受H1，故可认为治疗前后四个阶段的SGPT有差别。
两两比较 当上述x2r秩和检验认为各总体的位置不同时，可进一步作两两比较的秩和检验。方法步骤如下：(1)将各处理组的秩和从大到小排列：R1，R2，…，Rk。按顺序列出对比组及两对比组范围内包括的组数a，如表3第(1)、(3)栏。
(2) 求统计量q值。计算公式为
式中RA-RB为两两比较中的任何两个对比组的秩和之差，SRA-RB为差值的标准误，其他同前。
(3)查q界值表(见“多个样本均数间两两比较”，表1，恒取v=∞)得P值，按所取检验水准作出推断结论。
例2 例1资料中哪两阶段间的SGPT有差别?
H0： 任两阶段SGPT的总体分布相同，
H1： 任两阶段总体的位置不同或不全相同。
a=0.05。
各阶段的秩和按大小排列：
组次 | 1 | 2 | 3 | 4 |
Ri | 27 | 21 | 13 | 9 |
由此确定各对比组及a，见表3第(1)、(3)栏。求出各对比组秩和之差RA-RB，见表3第(2)栏。按式(4)求两组秩和之差的标准误SRA-RB。
按式(3)计算q值见表3第(4)栏。
表3 四个阶段SGPT的两两比较
查q界值表，得P值，P<0.05者在q右上角标以“*”号，P>0.05者未标“*”号。故按a=0.05水准，可认为治后1周、2周SGPT有升高，但治后4周与1周相比已有下降，与治疗前比已看不出差别了。
各实验组与对照组比较 经上述x2r秩和检验，认为各总体不同时，还可进一步将若干个实验组分别与一个共同的对照组比较，方法步骤如下：
(1)将各组 (包括实验组与对照组)秩和从大到小排列。按顺序列出对比组及两对比组范围内包括的组数α，如表4第(1)、(3)栏。
(2) 求统计量q′值。计算公式为
式中RT-RC为每个实验组与对照组秩和之差;SRr-RC为差值的标准误;其他同前。
(3)查q′界值表 (见条目“各实验组与对照组均数比较”，表1，2，恒取v=∞)得P值，按所取检验水准作出推断结论。
例3 若以例1中治疗前的SGPT作为对照组，治疗后的哪些阶段与它有差别?
H0： 任一实验组的总体分布与对照组的相同，
H1： 实验组总体与对照组总体的位置不同或不全相同。
α=0.05。
四组秩和按大小顺序排列：
组次： | T1 | T2 | T3 | C |
Ri： | 27 | 21 | 13 | 9 |
由此确定各对比组及α，见表4第 (1)、(3)栏。求各对比组秩和之差 RT-Rc ，结果见表4第(2)栏。按式(6)求sRT-RC得
按式(5)计算q′值，见表4第(4)栏。
表4 表2资料实验组与对照组比较的秩和检验
查q′界值表得P值，P<0.05者在q′ 值右上角标以“*”号，P>0.05者未标“*”号，见表4第(4)栏。故按α=0.05水准，T1组与C组间，T2组与C组间拒绝H0，接受H1;T3组与C组间不拒绝H0。可认为治疗后1周、2周的SGPT较治疗前有升高，而治疗后4周与治疗前已看不出差别了。
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