随机事件有各种不同的结果，变量X按不同结果而取不同的值，且X服从一定的概率分布，这样的变量称为随机变量，它是随机事件的数量化。随机变量的分布型常用的有离散型与连续型两种，均可用分布函数表达随机变量的概率性质。但在许多实际问题中，有时很难精确地求出其分布函数，或只需要知道某一、二个描述分布特征的数字指标(称数字特征)就够了。常用的数字特征有数学期望、方差、矩等。

离散型分布 如果随机变量X只能取有限个数值X₁，X₂，…，X_n;或无限可数个数值X₁，X₂，…，X_n，…，就说X为离散型随机变量。当X=X_k (其中k=1，2，…)时的概率记作p(X_k)，∑p(X_k)=1。p(X)称为概率函数。则X的取值及其对应的概率可按一定次序一一列举，例如以某种动物作某药的毒性试验时，已知其死亡率为60%。则4个动物作该药的毒性试验时死亡X只及其对应的概率为

当随机变量取值不大于X时的累计概率记作P(X)=

称为离散型分布函数，如本例，动物死亡数

不大于2只的累计概率为

P(2)=p(0)+p(1)+p(2)

　　　　　　　　　　=0.0256+0.1536+0.3456=0.5248。

二项分布、Poisson分布、超几何分布等都是离散型分布。一般说来，离散型分布多用于计数资料。

连续型分布 例如成年男子的身高，人的寿命等不是离散型随机变量。对非离散型随机变量，由于其可能取的值不能一个一个地列举出来，因而转为研究随机变量的取值不超过X (注： 本分卷中X既表示随机变量也表示它所取的值)的概率，称为分布函数，记作F(X)。如果随机变量X的分布函数F(X)能够表示为

就说X为连续型随机变量，式中非负函数f(X)称为此分布函数(或分布，或随机变量)的密度函数，简称密度。例如某市120名12岁男孩身高(cm)的频率分布服从正态分布，其均数为143.1cm，标准差为5.67cm，则它的密度为

该市12岁男孩身高不超过143.1+5.67=148.77cm的概率为

严格地说，式(1) 应表示为

对于某些常见分布，已知X求F(X)值有统计表可查，如上例可由标准正态分布曲线下的面积表查得(见条目“正态分布”)。正态分布、x²分布、Weibull分布等都是连续型分布。一般说来，连续型分布多用于计量资料。

数学期望 设有一个含量为n的样本，观察值X₁ ，X₂，…，X_k的权数依次为，f₁，f₂，…，f_k，则其均数为

当n充分大时，频率fi/n接近于概率。从这个加权均数的启发，我们定义离散型随机变量X的数学期望E(X)为

E(X)=∑X_p(X)。(3) 式中∑p(x)=1，并要求E(X)为一确定的数值。由此可见，数学期望就是总体均数，常简记为μ。

类似地，对具有密度函数f(X)的连续型随机变量，有

这里同样要求E(X)为一确定的数值。

方差 数学期望刻划了随机变量的集中位置，进而刻划它的变异程度的有方差。对于离散型随机变量X的方差定义为

V(X)=E[X-E(X)]²＝∑(X-μ)²p(X); (5)对于连续型的，定义为

式(5)与(6)中都要求V(X)是一个确定的数值。

有了数学期望(总体均数)与方差的定义就可按上列公式，计算随机变量的数字特征。例如当X服从二项分布时，可按式(3)、(5)，求得它的数学期望为nπ，方差为nx(1-x); 当X服从正态分布时，可按式(4)、(6)求得E(X)=μ，V(X)=σ²。本分卷中以σ²表示服从任何分布的随机变量的方差，即σ²＝V(X)。

矩(动差) 随机变量X的k阶中心距，记作μk，对离散型定义为

μ_k＝∑(X-μ)^kp(X); (7)

对连续型定义为

当μ=0时，k阶中心矩就称为k阶原点矩，记作μ′k，对离散型与连续型分别为

这里要求μk和μ′k都是确定的数值。当k=1时，μ′1就是X的数学期望。当k=2时，μ₂就是X的方差。三阶矩可刻划分布的偏度，四阶矩可刻划分布的峰度。