2×2析因试验 2×2设计表示有两个因素，每个因素各有两个水平，共有四个组合。如以A₁表示A因素1水平，A₂表示A因素2水平，B₁表示B因素1水平，B₂表示B因素2水平，各因素的水平之间逐个组合，即成2×2设计，其模型如下：

2×2析因分析时，首先应对4个组合的试验结果作方差齐性检验(见条目“多个方差的齐性检验”)，如已满足齐性要求，即可进行方差分析。方法如下：

(1)作检验假设。有两种： 一是A因素或B因素的各水平间的比较，H₀为A因素或B因素两水平的总体均数相等，即μ1=μ2;二是分析A、B两因素的交互作用，H0为两因素间无交互作用，即彼此独立。

(2)将总变异的离均差平方和SS及自由度v按变异来源分为A因素、B因素、交互作用A×B及误差四部分。SS_A和SS_B的计算公式见条目“单因素多个样本均数比较”。A、B两因素交互作用的离均差平方和SS_A×B的计算需先列副表，如表2，再用式(1)及式(2)。

(3)分别计算各因素及交互作用的均方MS(=SS/v)，并与误差的均方相比得F值，如表3。

(4)查F界值表得P值，按所取检验水准作出推断结论。

例1 用新法和旧法分别提取某食物中的甲化合物和乙化合物，观察其回收率，拟比较新旧法间及甲乙化合物间的回收率有无差别?方法与化合物间有无交互作用?试作析因试验。

(1)设计。本例有两个因素，各有2个水平：

A因素： 方法——新、旧，

B因素： 化合物——甲、乙，

交互作用： A×B，即方法×化合物，共有4种组合，对每一组合的样本均按照随机化的原则重复测定4次，资料见表1。

(2)分析。先检验4个样本的方差齐性，得校正x2=6.03，v=4-1=3，查x2界值表得0.5>P>0.05，按α=0.05水准已满足方差齐性要求，可进行方差分析。

方法间：

H₀： 新法与旧法所得回收率相等，

H₁： 新法与旧法所得回收率不等。

表1 2×2析因试验的回收率(%)

化合物间：

H₀： 甲乙两化合物所得回收率相等，

H₁： 甲乙两化合物所得回收率不等。

交互作用：

H₀： 不同方法与不同化合物的回收率之间无交互作用，H₁： 不同化合物所得回收率之差因采用不同方法而异，反之亦然。

均取α=0.05。

表2 表1的副表

按式(1)与式(2)合并计算如下：

表3 表1资料的方差分析

由表3可见： 无论新、旧法间，甲、乙两化合物间，以及方法与化合物的交互作用，经方差分析所得P值均很小，按α=0.05水准均拒绝H0，接受H1，回收率之间有差别。结合表2，可以认为新法高于旧法，乙化合物高于甲化合物。又由表1得平均回收率如下：

可见用新法提取时，两种化合物的回收率相差较大，而用旧法时相差较小，二者约为3.5：1。说明方法与化合物之间存在交互作用。

2×2×3×2析因试验 2×2×3×2设计，表示有四个因素，各因素依次有2、2、3、2个水平，共有2×2×3×2=24个组合。如以ABCD表示四个因素，A₁ 、A₂表示A因素的两个水平，同样，B₁、B₂，C₁，、C₂、C₃，D₁ 、D₂分别表示B、C、D因素的各个水平，则2×2×3×2设计的模型如下：

按此模型安排24个组合的试验，每个试验可根据试验条件和具体要求规定重复次数，一般所取次数较少。对试验结果应先作方差齐性检验，然后再作方差分析(参照2×2析因分析加以扩展)：

单因素组间比较： A，B，C，D;

一级交互作用： A×B，A×C，A×D，B×C，B×D，C×D;

二级交互作用： A×B×C，A×B×D，A×C×D，B×C×D;

三级交互作用： A×B×C×D。

总共15次检验，目的在于得出各因素的最佳水平及其组合。

析因试验能够分析多种交互作用，以获得丰富的结论，但当因素过多，因素中包括的水平又划分过细时，将使交互作用的内容头绪繁多，不但计算不便，而且对它们的具体解释亦十分错综复杂。故除非必须同时对某些因素进行研究外，一般宜采用较简单的析因试验。

例2 在培养钩端螺旋体时，除已固定若干因素外，拟研究以下四个因素不同水平的效应，求其最佳组合。

A： 血清种类——兔、胎盘

B： 血清浓度——5%、8%

C： 基础液——缓冲剂、蒸馏水、自来水D： 维生素——加、未加

1. 设计。本例A、B、C、D四个因素依次各包括2、2、3、2种水平，故全部试验有2×2×3×2=24个组合。每一组合的样本重复钩端螺旋体计数四次。资料见表4。

2. 分析。对表4中24个组合的方差作齐性检验得校正x2=36.23，v=23，查x2界值表得P<0.05，按α=0.05水准，未满足方差齐性的要求。试把表4数据作平方根变换，得表5。再对表5数据作方差齐性检验，得校正x2=27.80，v=23，查x2界值表得0.5>P>0.05，按α=0.05水准已满足了方差齐性的要求，可用表5数据作方差分析。

血清间：

H₀： 两种血清(A₁与A₂)所得计数相同，

H₁： 两种血清(A₁与A₂)所得计数不同。

浓度间：

H₀： 两种浓度(B₁与B₂)所得计数相同，

表4 2×2×3×2析因试验的钩端螺旋体计数

表5 表4数据的平方根变换值

H₁： 两种浓度(B₁与B₂)所得计数不同。基础液间：

H₀： 三种基础液(C₁、C₂、C₃)所得计数相同，

H₁： 三种基础液(C₁、C₂、C₃)所得计数不同或不全相同。是否加维生素：

H₀： 加与不加维生素(D₁与D₂)所得计数相同，H₁： 加与不加维生素(D₁与D₂)所得计数不同。

一级交互作用

H0： A×B、A×C、A×D、B×C、B×D、C×D无交互作用，

H1： A×B、A×C、A×D、B×C、B×D、C×D有交互作用。

二级交互作用：

H0： A×B×C、A×B×D、A×C×D、B×C×D无交互作用，

H1： A×B×C、A×B×D、A×C×D、B×C×D有交互作用。

三级交互作用：

H₀： A×B×C×D无交互作用，H₁： A×B×C×D有交互作用。

均取α=0.05水准。

总变异的离均差平方和包括4个因素变异、6个一级交互作用变异、4个二级交互作用变异、1个三级交互作用变异和1个误差(剩余变异)，分别计算如下。并将结果列于表9，以便分析。

(1)总变异的离均差平方和。计算表5每个组合的合计，列于表6，

表6 表5数据的交互作用的总副表

再按四因素分别计算各水平的合计：

A，血清种类： 兔1827.67，胎盘1356.48;B，血清浓度： 5% 1530.24，8% 1653.91;

C，基础液： 缓冲剂1056.95，蒸馏水1081.04，自来水1046.16;

D，维生素： 加1602.76，未加1581.39;总计： 3184.15。

总变异的离均差平方和，由表5数据计算，得

(2)四因素各水平间变异的离均差平方和。

(3)一级交互作用的离均差平方和。包括所有每两个因素的交互作用，共六项。A×B交互作用计算见表7。

表7 A×B交互作用副表(据表6)

按式(1)与式(2)合并计算如下：

(4)二级交互作用的离均差平方和。包括所有每三个因素的交互作用，共四项。A×B×C交互作用计算见表8。

表8 A×B×C交互作用副表(据表6)

仿式(1)与式(2)推广计算如下：

其余3个二级交互作用的离均差平方和及其自由度之计算方法仿此，算式从略，结果为SSA×B×D=139.6596，v=1×1×1=1;SSA×C×D=24.0976，v=1×2×1=2; SSB×C×D=8.4369，v=1×2×1=2。

(5)三级交互作用的离均差平方和。全部四个因素的交互作用，只有一项，根据表6数据计算。仿式(1)与式(2)推广计算如下：

(6)误差的离均差平方和。从总变异的离均差平方和内减去所有单因素变异和一、二、三级交互作用的离均差平方和，为剩余变异，即误差;自由度的计算方法同此。

表9 表5资料的方差分析

方差分析的全部结果列于表9，其中P值按所得F值，由F界值表查得。有五项F值记“*”，表示按α=0.05水准拒绝H0，接受H₁，认为有差别： ①血清种类(A)间： 用兔血清培养优于用胎盘血清; ②血清浓度(B) 间： 用8%血清浓度培养优于用5%的血清浓度; ③血清种类与血清浓度(A×B)二者间有交互作用，可认为用兔血清培养时，8%的浓度优于5%的浓度，而用胎盘血清培养时，8%的浓度与5%的浓度相差甚微; ④基础液与维生素(C×D)二者间有交互作用，可认为用缓冲液或自来水作基础液时，加维生素培养优于不加维生素，而蒸馏水作基础液时，不加维生素培养优于加维生素;⑤血清种类、血清浓度与维生素(A×B×D)三者间有交互作用，可认为用5%浓度兔血清或8%浓度胎盘血清时，加维生素优于不加维生素，而用5%浓度胎盘血清时，不加维生素培养优于加维生素培养，至于用8%浓度兔血清培养时，加或不加维生素培养效果无差别。

综合上述五项，可将所分析的四个因素归纳出以下三种最佳组合方案： ①8%浓度兔血清用蒸馏水作基础液，不加维生素;②8%浓度兔血清用缓冲剂作基础液，加维生素;③8%浓度兔血清用自来水作基础液，加维生素。