半数效量(或半数致死量)的概率单位法是计算半数效

量的有效方法。最先由C.I.Bliss提出，J. J. Litch-field和F. Wilcoxon根据其原理建立了图解法，顾汉颐又提出了简化概率单位法。概率单位的意义见条目“百分数的概率单位变换”。本法基本原理是将剂量反应曲线直线化，求出直线方程，再从方程求出半数效量。常用方法有：图解法、加权直线回归法和简化概率单位法，本条目将以半数致死量(LD₅₀)为例来说明。

本法要求： ①剂量分组一般取等比级数，但也可为等差级数或不等距的数值。②各剂量组的受试动物数不一定相等，但应相近。③要求一半剂量组数的反应率在10～50%之间，其余一半在50～90%之间，尽量避免出现反应率为0%和100%。如出现反应率为0%和100%可舍去不用，或加以校正，即用“0.25÷(反应率为0%组的动物数)”代替0%，用“ 1-0.25÷(反应率为100 %组的动物数)”代替100%。

图解法 本法简便，但精确度稍差。方法步骤如下：(1)列计算表。如表1。将剂量变换为剂量对数x，死亡率变换为概率单位y。

(2) 图解求半数致死量。在方格坐标纸上，横轴为剂量对数x，纵轴为概率单位y，根据每一组的x、y值在图上描点，然后按点子的分布趋势作一直线，使直线穿过各点中间(各点至直线的纵向距离尽量短些，并重点照顾y=5附近的点子)。从纵轴概率单位为5处作一水平线，过水平线与直线的交点作垂线与横轴相交，此处读数即lgLD₅₀，取反对数得LD₅₀。

(3)求剂量反应直线方程。为更准确地求出LD₅，…，LD95等值，以及进行两直线方程的比较。可在直线上任取两点(x₁，y₁)及(x₂，y₂)，按式(1)求出直线方程

得到直线方程后，还应进行拟合优度检验，可用x₂检验。检验假设H0为实际频数符合由此直线推算出来的估计频数，即实际死亡数符合估计死亡数，实际存活数符合估计存活数。经检验，不拒绝H0则认为直线拟合好;拒绝H0则认为拟合的直线不够满意，需另行拟合满意的直线求LD50。方法步骤(如例1表2)是： ①将各剂量对数x(死亡率为0%及100%的剂量对数除外) 代入直线方程求得估计概率单位ŷ;②查“百分数p与概率单位对照表”得相应的估计死亡率;③求相应的估计死亡数ŷ=n，估计存活数ŝ=n-;④由下式计算x²值，

自由度ν=k-2。

k为剂量组数(死亡率为0%及100%的剂量组不计在内)。⑤查x²界值表得P值，按所取检验水准作出推断结论。

(4)求半数致死量的可信区间。上面求出的LD50是总体LD₅₀的点估计;由正态近似原理，总体LD₅₀的95%可信区间的对数值按式(3)计算，再取反对数即得LD₅₀。

式中N′为概率单位4～6范围内各组受试动物数之和。s为各致死剂量对数值的标准差，也就是回归系数的倒数，按式(4)计算：

式中x₁，y₁与x₂，y₂是由图中拟合满意的直线上任意两点读出的坐标。s/为lgLD₅₀的标准误s_lgLD₅₀。例1 用某农药对雌性大白鼠作灌胃的急性毒性试验，资料见表1，用图解法求半数致死量及其剂量反应方程。

(1)列计算表。

表1 图解法求LD₅₀计算表

(2)用图解法求LD₅₀。

表1 资料用图解法求LD5₀

lgLD₅₀ =3.12，

LD₅0 =lg-¹ 3.12=1318(mg/kg)。

(3)求剂量反应直线方程。由图3读出线上两点： y1=4，x₁＝3.03;y2=6，x2=3.20，代入式(1)，得

(4)拟合优度检验。

H₀： 实际频数符合估计频数，

H₁： 实际频数不符合估计频数。

α=0.05。

表2 回归直线的拟合优度检验

注： 第(1)～(3)栏为原始数据，第(4)栏系将第(1)栏数据代入上述回归方程求得，第(5)栏系按第(4)栏数据由“百分数p与概率单位对照表”查得。

今v=5-2=3，查x²界值表，0.95>P>0.5，按α=0.05水准不拒绝H₀，可认为此直线拟合是好的。

(5)求LD₅₀的95%可信区间。将前述两点读数代入式(4)，

由表1，N′ =30，按式(3)：

取反对数得(1194，1456)。

故此农药的LD₅₀为1318mg/kg，其95%可信区间为1194～1456mg/kg。

加权直线回归法 本法精确度高，但计算较繁。其基本思想是拟合直线时使y=5附近的数据起主导作用(给予较大的权数，详见表3)，以消除极值的影响;也考虑各组受试动物多少对死亡率稳定性的影响。方法步骤如下：(1)在图解法的基础上求出加权计算的基本数据，如表4。先用图解法求出直线方程(经拟合优度检验无显著性)。 由此求出各剂量组的估计概率单位ŷ0(取一位小数)，由ŷ0查表3得加权系数w、极小值α和全距β，结合实际死亡率p ，代入式(5)求出作业概率单位y′，

y′=α+βp。(5)

求各剂量组的nw、nwx、nwx²、nwy′、nwxy′及相应的合计数∑nw、∑nwx、∑nwx²、∑nwy′、∑nwxy′。

(2)求加权直线回归方程y′=a+bx。类似条目“直线回归”方程的计算。

表3 加权系数

(续表)

本表按下式算得：估计概率单位ŷ=u+5，w=z²

/P(1-P)，a=ŷ-P/z，β=1/z。其中u为标准正态变量，相应的标准正态曲线的纵坐标为z、左侧面积为P。

(3)按式(13)可求任何死亡率(k%)时的致死剂量对数(lgLD_k)，按式(14)求其标准误(slgLD_k)。按式(15)求LD_k的95%可信区间的对数值，取反对数即得真数值。

式中yk为死亡率k%相应的概率单位。

如此，由第一轮加权求得的直线回归方程常有较大误差，特别是在计算LD₅和LD₉₅时更是如此。故应采用多轮加权，逐次逼近。每轮均以所得方程的应变量估计值，作为下一轮加权的估计概率单位。仿上法重复进行，直到各剂量组前后估计概率单位之差均不超过0.2时即算满意。

例2 对例1资料用加权直线回归法求LD50。(1) 由例1图解法求得初估的剂量反应回归方程为

ŷ₀＝-31.6471+11.7647x。 ①

由此借助表4求出加权计算的基本数据：

表4 加权计算的基本数据

注：表4第(1)～(3)栏为原始数据，第(4)栏由上述直线回归方程式①求得，第(5)～(7)栏由表3查得，第(8)栏由式(5)算得，第

(9)栏由第一轮加权直线回归方程式②算得，第(10)栏由式③求得。

(2)按式(6)～(12)求加权直线回归方程。

将表4第(1)栏数据代入上式得第(9)栏，第(4)栏与第(9)栏比较，最高剂量组y0-y1=6.7-6.4=0.3，尚不够满意;为此重复上述步骤作第二轮加权计算(过程从略)，得回归方程

＝-27.5231+10.4272x。 ③

将表4第(1)数据代入上式得第(10)栏。第(9)栏与(10)栏比较完全一致，说明式③直线拟合已很满意。

(3)求LD₅₀及其95%可信区间。在第二轮计算中已求得：∑nw=23.6035，∑nw(x-)²＝0.152906，＝3.131714，

＝5.131933。

按式(15)，

(3.11906-1.96×0.01998，3.11906+1.96×0.01998)=(3.07990，3.15822)，取反对数得(1202，1440)。

故此农药的LD₅₀为1315mg/kg，其95%可信区间为1202～1440mg/kg。

简化概率单位法 本法计算简单且较精确，适于2～5个剂量组，剂量分组取等比级数排列，每组动物数相同，一般用10～20只动物，较大动物每组至少也宜有5只。lgLD₅₀及其标准误的算式随剂量组数不同而异。

二个剂量组：

式中d为相邻两剂量对数值的差值，y₅₀＝5。

例3 用某农药对雌性大白鼠作灌胃的急性毒性试验，结果见表5。用简化概率单位法求LD₅₀。

表5 简化概率单位法计算表

注： 第(1)～(5)栏为原始数据，第(6)栏是按第(5)栏由“百分数p与概率单位对照表”查得，第(7)栏由表(3)查得。

列表5。 本例有五个剂量组，d=0.0663， ＝∑y/组数=24.6828/5=4.9366。

按式(15)求LD₅₀的95%可信区间的对数值：

(3.1085-1.96×0.0209，3.1085+1.96×0.0209)=(3.0675，3.1495)，

取反对数得(1168，1411)。

故此农药的LD₅₀为1284mg/kg，其95%可信区间为1168～1411mg/kg。