判别分析是判别个体所属类别的一种多元统计分析方法。它在医学上有着广泛的应用。例如，根据病人的各种症状判别病人患的是哪一种疾病; 根据病人各种症状的严重程度预测病人的预后; 根据细菌的形态及生化特性判别属于哪一菌种等。如果所用指标是某种图象的各种特征，则可将此法用于图象识别。例如，根据骨瘤X线片上的各种特征判别骨瘤性质; 根据心电图各种波形特点识别心脏病等。当应用电子计算机来进行分析时，就成为电子计算机辅助诊断，心电图自动识别等等。在判别分析中，因判别准则的不同，又有Fisher与Bayes等不同判别分析法。

判别分析的步骤可用诊断疾病为例说明如下：

(1)收集一批已确诊病人(或健康人与病人)的各种特征(可用于诊断的症状、体征、化验结果以及年龄、性别等)的资料，以m种特征为自变量(X₁，X₂，…X_m)，以诊断结果为应变量(Y)。

(2) 按照某一判别准则，求得一个或几个线性判别式(判别函数)。

(3)将新病人的各种特征值(检查结果)代入判别式，根据计算所得的Y值即可判断病人患何种疾病。

由以上步骤可知，判别分析的目的就是要根据已知类别(如有G类)的一批样本找出一个将这G类事物区分开来的方法。

Fisher判别法 Fisher判别的直观意义是如果两种疾病的某些症状(指标)很相似，则仅凭某一症状往往不能区分这两种疾病，因为两种疾病的这一症状的观察值会有很大程度的重叠;但若将几个症状综合起来，用数学方法找出这些症状的一个适当的线性组合，那么就可使重叠程度大大减少，从而就能比较正确地、可靠地分辨这两种疾病。这个线性组合可以作为一种综合指标，用以区分两类事物。如果对于两种疾病A与B，考虑只有两个变量(指标)X₁与X₂的情形，则两指标的线性组合

Y=b₁X₁+b₂X₂ (1)

可作几何解释如下： 图1说明仅凭一个指标X₁或X₂时，A、B两病的每一指标的观察值都会有很大程度的重叠;但如以X₁为横坐标，X₂为纵坐标，并设法在此X₁X₂平面内找到这样一个Y轴，使X₁X₂平面上的散点投影到Y轴上时，两种疾病观察值的重叠小于任何其他轴，如图所示，则综合指标Y区别A、B两种疾病的能力显然将大于X₁或X₂。

图1 两个指标综合示意(判别分析的几何解释)

式(1)称为判别函数。如果指标不是两个而有m个，则判别函数为

Y=b₁X₁+b₂X₂+…+b_mX_m。(2)

有了判别函数就能有效地判别两类个体的归属。有时一个判别函数不能有效地判别多类个体，这时就需要用几个判别函数。

Fisher判别准则是要求各类之间的变异尽可能地大，而各类内部的变异尽可能地小，变异用离均差平方和表示。以两类判别为例，即要求：

为最大，式中n_A与n_B分别为A类与B类的例数，Y_Ak与Y_Bk分别为A类与B类中第k例的Y值，A与B分别为A类与B类的均数，为两类合并后的总均数。根据这一准则，式(2)中的系数b_i可由下列方程组解得：

式中l_ij为各指标各类内部的离均差平方和或积和。在两类判别时，

求得b_i后，代入式(2)即得判别函数。

求判别界值Y₀：把A类、B类的各指标的均数分别代入式(2)得：

然后以两均数之中点作为两类的界点。

判别效果的检验：若判别函数能划分两类总体，则两类总体的均数不等;反之，则两总体均数相等。

设样本来自协方差矩阵相同的两个多元正态总体，则两类总体均数有无差异可用F检验：

自由度v₁＝m，v₂＝n_A+n_B-m-1。式中D2为Maha-lanobis距离。

求得F值后，查F界值表得P值，按所取检验水准作出推断结论。当拒绝H0，接受H1，则认为变量的判别效果有显著性，即建立的判别函数有效。

例1 拟研究以舒张期血压和血浆胆固醇含量预测病人是否患冠心病，测定15名冠心病人和16名健康人的舒张压X1及血浆胆固醇含量X₂，结果见表1，试作判别分析。

表1 冠心病人与健康人舒张压(mmHg)和血浆胆固醇含量(mg/dl)^*

*为便于理解，本例数据经过修改。

(1)求判别函数。计算各类的基本数据及离均差平方和、离均差积和：

按式(5)计算各指标两类内部的离均差平方和或积和的合并值：

l₁₁ =2118.93+1015 =3133.93，

l₂₂ = 26590.93+19127.94 =45718.87，

l₁₂＝l₂₁ =-3102.27+(-682.25)=-3784.52。

按式(6)计算各指标两类均数之差：

d₁＝93.7333-79.7500=13.9833，

d₂＝187.9333-141.4375=46.4958。

将上列结果代入式(4)得

解之得 b₁ = 0.006321，

b₂＝0.001539。

代入式(2)得判别函数为：

Y=0.006321X1+0.001539X₂。

按式(7)与(8)求两类的判别界值Y₀：

(2)检验判别函数的有效性。

H₀： μA=μB，

H₁： μA≠μB。

a=0.01。

按式(10)及式(9)得：

查F界值表得P<0.01，按a=0.01水准拒绝H₀，接受H₁，故可认为判别函数有效。

(3) 回代。如以A类的第1例X₁＝74，X₂＝200代入判别函数，得Y=0.775554<Y0，判断为正常人，但此例实为冠心病人，故此例错判。如以A类第2例代入，得Y=0.853716>Y₀，判断为冠心病人，此例判对了。仿此将每例都进行判断，结果见表2。

由表2可见两类错判的各有3例，判对的共25例，故符合率为25/31=80.64%。

表2 判别分析与临床诊断结果符合情况

用双指标(X₁ 、X₂)作两类判别的判别图根据(X₁、X₂)描点于X₁X₂坐标平面，并在此平面上画出判别轴：

b₁X₁+b₂X₂＝Y₀，(11)

此轴将平面划分为A、B两个区域。于是根据观察对象所测得数据(X₁，X₂)标在图上，根据点子所落入的区域即可判别此对象所属的类别。如图2。

例2 根据例1的结果(经检验判别函数有效)，试作判别图，并对某受试者：X₁＝90mmHg，X₂＝165mg/dl，判断其归属。

(1)作判别图。以X1为横坐标，X2为纵坐标，并以0.006321X₁+0.001539X₂＝0.801745为判别轴，作成图2的判别图。

将表1的数据依次描点，回代结果可看出A、B两类错判的各有3例，其余均符合，同表2。

图2 判别分析图示法

(2)判别归属。以受试者的观察值(90，165)，描点P于判别图，由于点P落入冠心病区，故判断受试者患有冠心病。另一判别法是以X1=90，X2=165代入判别函数，得Y=0.006321 × 90+0.001539×165=0.822825。

例1已算得：A=0.881718，B= 0.721772， Y₀＝0.801745，则本例B<Y₀<A。 今Y₀<Y，故判断此受试者属A类，即为冠心病患者。若另有一受试者，其Y<Y0，则应归属B类。

Bayes判别法 Bayes判别准则是以个体归属某类的概率(或某类的判别函数值)最大或错分总平均损失最小为标准。

设有某个体来自G个不同总体之一。我们用L(h|g)表示把实属总体g类的个体错分入总体h类的“错分损失”，相应的错分概率记为P(h|g)，则把实属g类的个体错分入他类的“错分平均损失”为

各类互相错分的总平均损失为

式中pg为个体来自总体g类的可能性(即先验概率)。设各类总体都服从多元正态分布，并且各类总体的协方差矩阵相同，错分损失L(h|g)=1(g≠h)，则由式(13)可推导得G类中每类的判别函数为

对于任一观察对象甲，只要把实际测得的各指标Xj值代入式(14)即可求得各类的Y值，哪个Y值最大，就判断甲属于该类。若式(14)中的先验概率相等时，则式中的ln pg可全部删去而不影响判断结果。 若pg不知时，可由各类的频率估计之。

例如某单位研究乳房肿块的计算机鉴别诊断，收集了183例的体检和病史资料，根据5个指标(年龄X₁，肿块距乳头距离X₁₅，肿块宽度X₁₈，活动度X₂₁及对侧有无肿块X₂₆)作三类判别。按Bayes准则建立判别函数后，进行回代结果如表3，回代符合率为(23+73+45)/183=77.05%，可见效果不太理想。后又以11个指标作两类判别取得了良好效果，回代符合率达96.72%，见表4。

表3 五个指标三类判别效果

表4 11个指标二类判别效果

判别分析的其他方法 判别分析种类很多，也有非参数的判别分析法。判别分析法过去用于连续变量的较多，如果要用于定性资料，则要用到数量化理论。目前离散变量的判别方法也有很大发展。用Bayes逆概率公式和极大似然法也可以判别个体属于哪一类。有人也把它们归入判别分析。

逐步判别是用类似逐步回归的方法对指标先进行筛选。方法有多种，其中最常用而较简便的是S.S. Wilks所提出的方法，在选出变量后再作判别分析。上述乳房肿块的计量诊断中所用的5个和11个变量就是按Wilks统计量用F检验筛选出来的。

序贯判别是在二类判别时先用一个指标作判别，判别结果可以是“A类”、“B类”或“不定”。当判为“不定”时再用第二个指标进行判别，如此序贯地逐一引入指标作判别。