负二项分布是一种离散型的分布，可用于寄生虫学、医学昆虫学、微生物学以及流行病学等的研究。

概率函数及其图形 类似二项分布，服从负二项分布的随机变量的概率依次为负二项式展开后的各项：

负二项分布的概率函数为

式中K>0，0<π<1，X=0，1，2，…，

当k为正整数时，负二项分布称为Pascal分布; 当

称为几何分布。

已知参数k与π，按式(2)与(3)即可算得X=0，1，2…时的各个概率，并画出负二项分布的图形。

性质

(1) 负二项分布的均数μ与方差σ2为μ=k(1-π)/π，(5)

负二项分布

(2)递推公式： 当按式(2)求得p(X-1)后，即可按式(7)求得p(X)，

参数π与k的估计 介绍两种方法：

(1)矩法。先由样本求得均数X与方差s2，作为μ与σ2的估计值，代入式(6)算得π的估计值，再代入式(5)算得k的估计值。

(2) 频数法。此法在样本含量充分大时可得到较满意的结果，其优点是简捷易算。方法步骤是：①由样本求得均数作为Μ的估计值;②由式(7)，令X=1，得

上式左端的分子分母同乘以样本含量n，得np(1)/np(0)，即X=1与X=0时的理论频数之比。当n充分大时，可以实际频数之比估计，于是此比值近似于k(1-π)。③按式(5)及式(8)求π及k的估计值。

例 为了研究钉螺的分布规律，对某河岸共查螺5760框(每框1/16平方市尺)，各框内钉螺数的分布如表第(1)、(2)栏，问钉螺的频数分布是否服从负二项分布?钉螺的频数分布

H₀： 钉螺的频数分布服从负二项分布，

H₁： 钉螺的频数分布不服从负二项分布。

α=0.2。

(1)求π与k的估计值。本例n=5760，可用频数法估计之。由表算得＝0.566493，按式(8)，得

按式(5)，得

再按式(8)，得

(2)求理论频数F。先求p(X)

p(2)～p(7)仿此递推。

以上为理论频率，各乘以总框数5760，得上表第(3)栏F。X由0到7，累计F已达5755，故X≥8的累计F为5760-5755=5.0。

(3) x²检验。

自由度v=9-3=6。

查x²界值表，P≐0.5，按α=0.2水准不拒绝H₀，故可认为钉螺的分布服从负二项分布。