等级资料的直线相关分析称等级相关，这是一种非参数统计方法。分析两事物数量间的直线关系时，对下列情况宜用等级相关： ①两事物的量，有的不能准确测量，只能按大小、程度、优劣或综合判断给出顺序号; ②虽可测量，但总体数据的分布未知或已知不是正态双变量，不能作积差相关分析; ③只需对两事物数量之间的关系作初步分析等。
等级相关的常用分析方法有Spearman法和Kendall法，两法有很多共同点： ①都是用一个等级相关系数(分别用符号rS及rK表示)来说明两变量间直线关系的方向和密切程度。rS或rK的值都在+1与-1之间，数值为正表示正相关，数值为负表示负相关。②样本rS及rK分别是总体等级相关系数ρS及ρK的估计值，要推断总体中两变量X、Y间有无直线关系须经假设检验。两法的不同点只是rS及rK的计算方法不同，作假设检验时的统计用表不同。
表1 等级相关系数rs界值表
n | P(1)： 0.05 | 0.025 | 0.01 | 0.005 |
4 | 1.000 |
|
|
|
5 | 0.900 | 1.000 | 1.000 |
|
6 | 0.829 | 0.886 | 0.943 | 1.000 |
11 | 0.536 | 0.618 | 0.709 | 0.755 |
16 | 0.429 | 0.503 | 0.582 | 0.635 |
25 | 0.337 | 0.398 | 0.466 | 0.511 |
50 | 0.235 | 0.279 | 0.329 | 0.363 |
100 | 0.165 | 0.197 | 0.233 | 0.257 |
摘自 Zar JH： Biostatistical Analysis，p498 Pren-tice-Hall，Inc.，1974
表2 等级相关系数rK界值表
n | P | n | P | 0.05 | 0.01 | 0.05 | 0.01 | ||
4 | 1.000 | 1.000 | 21 | .267 | .371 | ||||
6 | .733 | .867 | 26 | .237 | .329 | ||||
11 | .418 | .564 | 31 | .213 | .295 | ||||
16 | .317 | .433 | 36 | .194 | .273 | ||||
摘自 Daniel WW： Applied Nonparametric Statis-tics，p467，Houghto Mifflin Company，1978
Spearman法 等级相关系数rS的计算步骤如下：(1)将成对的资料列出如表3第(2)、(4)栏。如果原资料不是秩次，则X、Y分别按数量从小到大编秩，如表3第(3)、(5)栏。例如公社4黄曲霉素相对含量为0.7，是10个公社中最低的，定秩次为1;稍高的是公社2，相对含量为1.0，定秩次为2;余类推。若几个观察值相等，应将它们的秩次相加求平均秩次，作为每个观察值的秩次。如果公社4、2的相对含量皆为0.7，那么它们的秩次均应定为1.5[=(1+2)/2]。
(2)计算每对观察值秩次的差值d及d2、∑d2，如表3第(6)、(7)栏。
(3) 按式(1)计算rS。
式中n为样本含量。
对rS进行ρs＝0的假设检验，只需将算得的rS按n查表1(rS界值表)得P值，按所取检验水准作出推断结论。
例1 肝癌病因研究中，调查某地10个公社的肝癌死亡率(1/10万)Y，与某种食物中黄曲霉毒素相对含量(以最高含量为10)X，结果见表3第(2)、(4)栏。试用Spearman等级相关系数推断X、Y间有无直线相关。
H0： ρs =0，
H1： ρs≠0，a=0.05。
编秩及初步计算结果见表3第(3)、(5)、(6)、(7)栏。
按n=10查表1得P=0.02，按a=0.05水准拒绝H0，接受H1。可以认为食物中黄曲霉毒素含量与肝癌死亡率间有正相
表3 rS计算表
公社 | 黄曲霉毒素相对含量 | 肝癌死亡率(1/10万) | d | d2 | X | 秩次 | Y | 秩次 | ||
1 | 3.7 | 4 | 46.5 | 7 | -3 | 9 | ||||
42 | ||||||||||
关。黄曲霉毒素含量高，肝癌死亡率也高。
rS的校正： 编秩时，观察值相同则取平均秩次，但相同秩次较多时，影响Σd2值，这时可用式(2)计算校正等级相关系数r′S。
次的个数。k为有相同秩次的组数.当TX=TY=0时，式(2)等于式(1)。
假定例1中前5个公社的X相同，各取平均秩次为3;第6、7、8公社的X相同，各取平均秩次为7;第9、10公社的X也相同，各取平均秩次为9.5。这样k=3，t1＝5，表示5个秩次相同，同理t2＝3，t3＝2。故TX＝(53-5)/12+(33-3)/12+(23-2)/12=12.5。肝癌死亡率没有相同秩次，故TY＝0。并算得Σd2＝33.5。计算校正的等级相关系数为
若不校正，将Σd2＝33.5代入式(1)，得rS＝0.797。Kendall法 等级相关系数rK的计算步骤如下：
(1) 列资料，编秩次，同Spearman法，并要求将其中X或Y的秩次按自然数排列，如表4第(2)、(3)栏。
(2) 计算累计秩次个数S。若X的秩次按自然数排列，则计算Y的每个秩次下面大于该秩次的秩次个数，然后合计即S。如表4第(4)栏。Y的第1个秩次为3，3的下面9个秩次中比3大的有7个，故秩次个数为7; Y的第4个秩次为7，其下大于7的秩次个数为3，余类推。这些Y的累计秩次个数合计为34即S。
当遇到原始数据相同时，仍取平均秩次，按下例求累计秩次个数。
秩 次 | Y的累计 | X | Y | |
Y的第一个秩次是1，其下有5个比它大，故秩次个数为5; Y的第二个秩次为2.5，下面有3个比它大，故秩次个数为3;Y的第四个秩次为4，与它对应的X秩次是4.5，它下面的一个秩次也是4.5，所以第4个秩次个数记为1而不是2。这样处理的依据是，当分析X与Y的相关时，X变Y不变或X不变Y变，均属无相关。
(3) 按式(3)计算rK值。
式中n为样本含量。
对rK进行ρK＝0的假设检验，只需将算得的rK按n查表2(rK界值表)得P值，再按所取检验水准作出推断结论。
rk的校正： 当相同秩次较多时，可用下式计算校正等级相关系数r'K
例2 试对例1资料用Kendall等级相关系数作分析。
表4 rK计算表
公社编号 | 秩 次 | Y的累计 | 黄曲霉毒素相 | 肝癌死亡率 | |
4 | 1 | 3 | 7 | ||
34 | |||||
H0： ρK＝0，
H1： ρK≠0。
α=0.05。
将X的秩次按自然数排列并计算Y的累计秩次个数见表4第(4)栏。
按n=10查表2，得0.05>P>0.01，按α=0.05水准拒绝H0，结论同例1。
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