圆形分布法用于角度、昼夜时间等资料的分析，通过三角函数变换，使原始数据成为线性资料。本条目主要介绍角度数据的图示、均数及标准差，并用参数及非参数法作假设检验，进行样本间的比较。

医学上有些资料是用角度表示的，如心电向量图的电轴、脑血流图的主峰角;或用昼夜时间表示的，如疾病发作时间。这类数据的特点是具有“周期性”，往往形成“圆形分布”。在圆形分布上，不但没有真正的零点，而且数值大小的意义也是特定的。一个圆分为360°(或2π弧度)，按罗盘标记东南西北，〔见图1(a)〕，但无法证明正北方向就是0°(或360°)，也不能说90°的方向“大于”60°的。设有三个角度值——10°、30°、350°，如果用通常方法求均数： (10°+30°+350°)/3=130°，显然不合理，因为三个角本来都指向偏北方，而“平均角”却指向东南方。又如一昼夜24小时，可用圆形表示，如图1(b)，1点、2点、23点都在夜里，而“平均时”为8点40分，却在上午，也不合理。其他时间划分如月份也可用圆形分布表示。

图1 常用圆形标度

应用圆形分布法的条件是：①资料呈单峰分布;②角度资料要准确到度，昼夜时间要准确到几点几分;③圆形分布的角度表示法与三角学有区别，但仍须查三角函数表;④资料的具体单位要换算为角度，如1小时相当于15°，1分钟相当于0.25°或15’。余类推。

圆形分布资料常用散布图表示。例数较少时，可将变量值直接在圆周上作点，以示分布，如例1;例数较多时，以同心圆表示例数(或占总例数的构成比)的尺度，以相应位置上的半径长度表示频数分布，如例2。

例1 图示11名11～12岁儿童的心电向量图额面QRS心电轴的角(度)：

-22，6，38，44，48，58，70，77，79，82，86

将这些数据在圆周上作点，见图2。例2 用表1资料绘制频数分布图。

角度自0°开始，顺时针方向为正，逆时针方向为负，在组中值位置上以各组段频数为半径作图，见图3。

图2 11名儿童QRS心

电轴角度分布

图3 7～9岁儿童129人

心电轴资料图示

表1 7～9岁儿童129人的心电轴(度)

角均数 亦称平均角。令ai表示a₁， a₂，…an角，ā表示样本角均数，它是总体角均数μa的估计值。求ā的公式为

式中r表示集中的度量(不是样本相关系数)，没有单位。r的数值自0～1：若r=0，表示没有一个平均的方向，即角的均数是不明确的;若r=1，表示全部数据都集中在同一方向。 注意：从sinā与cosā所得ā应相等，否则计算有错误。有时查出的两个角互为补角，尤其在正弦或余弦值为负时，注意该角所在的象限。

例3 计算表1资料的角均数。

表2 角均数的计算

角标准差 亦称圆形标准差或平均角离差，简称角离差，符号为s，是表示圆形分布变异程度的指标，计算公式为

理论上s值的范围自0至∞，与通常的标准差类似。若将自然对数化成常用对数，则式(6)、(7)变成式 (8)、(9)。

式(9)对于生物学及医学都很有用。r与s是样本统计量，相应的总体参数为ρ与σ。角的数值愈集中，r值愈大，s值愈小;角的数值愈分散，r值愈小，s值愈大。

例4 求下列六个样本的角均数ā与r、标准差s。

以5号样本为例，按式(1)～(5)及式(9)说明计算过程：

角中有6个小于它，5个大于它。二项分布的均数nπ=11/2=5.5。在62°两边角的个数X各为6和5，它们与均数距离的绝对值均为0.5。当X为7及以上或4及以下时，X与均数距离的绝对值都大于0.5，出现这些X值的概率由式求得为

P=0.274414×2=0.548828，即P>0.05，故不拒绝总体中位角为62°的检验假设。

两样本角均数的比较 亦称Watson-Williams检验(G.S.Watson与E.J.Williams)，按式(11)计算统计量F值，作F检验。

式中N为两样本含量n₁及n₂之和;R₁与R2由两样本分别按式(10)算得;R为两样本合并后求出的R值;K为计算F值的校正因子，由r值查表4即得。当r=R/N在0.70以上时式(11)较适用。求得F值后，查F界值表得P值，按所取检验水准作出推断结论。当v1=1时，＝t，而t值的自由度同v₂＝N-2，查t界值表，得P值相同。

多个样本角均数的比较 上述Watson-Williams检验法可推广到多个样本角均数的比较，须按式(12)计算

表4 Watson-Williams检验用校正因子K

录自 Zar JH：Biostatistical Analysis，p 574，Prenti-ce-Hall，Inc.，1974

统计量F值。

式中k为样本个数;Rj为各样本分别按式(10)计算的R值，其和为∑R_j;R为k个样本合并后求得的R值;N为各样本含量之和; 校正因子K仍由表4查出。当r=R/N在0.45以上时，式(12)较适用。求得F值后，查F界值表得P值，按所取检验水准作出推断结论。

例8 比较表5中两组儿童心电轴(频数分别为f₁与f₂)的角均数。

H₀： μ₁＝μ₂，

H₁： μ₁≠μ₂。α=0.05。

表5 两样本角均数的计算

按式(1)～(5)及式(10)：　　　　　　　Y₁＝107.164353/129=0.830731，

7～9岁组　　　　　　　X₁＝51.471733/129=0.399006。

同理，10～13岁组

Y₂＝0.800453，

X₂＝0.432755。

r2=0.909946;

sinā2=0.879671，

cosā2=0.475583，

ā₂＝61°60;

R₂ =220.2069。

两组合并

∑sin ai=107.164353+193.709732=300.874085，∑cos ai=51.471733+104.726637=156.198370，

N=129+242=371，Y=0. 810981，X=0.421020。

r=0.913755，R=339.0031。

查表4，当r=0.913755时，经内插法K=1.0615，按式(11)得

ν₁＝1，ν₂＝371-2=369，查F界值表得P>0.05。按a=0.05水准不拒绝H0，故认为两样本的角均数都估计同一个总体角均数，最佳估计值ā按(4)、(5)由合并数计算：

sin ā =0.810981/0.913755=0.88753，

或 cosā=0.421020/0.913755=0.46076。

ā=62.56°=62°34′。

两样本角方向的比较 用G.S. Watson非参数法，称为U2检验。检验假设H0为两样本来自角方向相同的两个总体。先将两组数据统一按大小排列，分组编秩，如表7第(1)、(2)、(4)、(5)栏，令i和j分别为样本1与样本2各角的秩号，a_1i为样本1的第i个角，a2j为样本2的第j个角;然后分别求两样本的累计频率，如表7第(3)、(6)栏，n₁与n₂分别为两样本含量，样本1的累计频率为i/n₁，样本2的累计频率为j/_n2;再求两累计频率之差d，如表7第(7)栏; N=n₁+n₂;统计量U²值的计算公式为

求得U²值后，查表6得P值，按所取检验水准作出推断结论。注意：同一P值时，Un1，n22=Un2，n12。例9 比较表7中两组儿童心电轴的角方向。

H₀： 两总体的角方向相同，

H₁： 两总体的角方向不同。

α=0.05。

N =11 +9=20，

查表6得P>0.05，按a=0.05水准不拒绝H₀，故不能认为两的角方向不同。

表6 Watson检验用U²界值表

摘自 Zar JH： Biostatistical Analysis，p 575，Pren-tice-Hall，Inc.，1974

同理，10～13岁组

Y₂＝0.800453，

X₂＝0.432755。r2=0.909946;

sinā2 = 0.879671，

cosā2 =0.475583，

ā₂＝61°60;

R₂＝220.2069。

两组合并

∑sinai=107.164353+193.709732=300.874085，

∑cosai=51.471733+104.726637=156.198370，

N=129+242=371，Y=0.810981，X=0.421020。

r=0.913755，R=339.0031。

查表4，当r=0.913755时，经内插法K=1.0615，按式(11)得

v₁＝1，v₂＝371-2=369，查F界值表得P>0.05。按α=0.05水准不拒绝H0，故认为两样本的角均数都估计同一个总体角均数，最佳估计值ā按(4)、(5)由合并数计算：sinā=0.810981/0.913755=0.88753，

或 cos ā=0.421020/0.913755=0.46076。

ā=62.56°=62°34′。

两样本角方向的比较 用G.S.Watson非参数法，称为U2检验。检验假设H0为两样本来自角方向相同的两个总体。先将两组数据统一按大小排列，分组编秩，如表7第(1)、(2)、(4)、(5)栏，令i和j分别为样本1与样本2各角的秩号，α_1i为样本1的第i个角，α₂j为样本2的第j个角;然后分别求两样本的累计频率，如表7第(3)、(6)栏，n₁与n₂分别为两样本含量，样本1的累计频率为i/n₁，样本2的累计频率为j/n₂;再求两累计频率之差d，如表7第(7)栏;N=n₁+n₂;统计量U²值的计算公式为

求得U²值后，查表6得P值，按所取检验水准作出推断结论。注意：同一P值时，U²_n1.n2＝U²_n1.n2，n12。

例9 比较表7中两组儿童心电轴的角方向。

H₀： 两总体的角方向相同，

H₁： 两总体的角方向不同。

α=0.05。

N=11+9=20，

查表6得P>0.05，按α=0.05水准不拒绝H₀，故不能认为两组的角方向不同。

表6 Watson检验用U²界值表

摘自 Zar JH： Bios tatistical Analysis，P 575，Pren-tice-Hall，Inc.，1974

表7 两样本角方向的比较(U²检验)